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<title>Code de Golay</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Code de Golay</span></h1>
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</div>
<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr">
<p>En <a href="Th%C3%A9orie_des_codes" title="Théorie des codes">théorie des codes</a>, un <b>code de Golay</b> est un <a href="Code_correcteur" title="Code correcteur">code correcteur d'erreurs</a> pouvant être binaire ou tertiaire, nommé en l'honneur de son inventeur, <a href="Marcel_Golay_(math%C3%A9maticien)" title="Marcel Golay (mathématicien)">Marcel Golay</a>. Il y a deux types de codes de Golay binaire. Le <b>code binaire étendu de Golay</b> encode 12 bits de données dans un mot de code de 24 bits de long de telle manière que n'importe quelle erreur sur trois bits puisse être corrigée et n'importe quelle erreur sur quatre bits puisse être détectée. L'autre, le <b>code binaire parfait de Golay</b>, a des mots de code de 23 bits de long et est obtenu à partir du code binaire prolongé de Golay en supprimant une position dans les coordonnées (réciproquement, le code binaire étendu de Golay est obtenu à partir du code binaire parfait de Golay en ajoutant un <a href="Bit_de_parit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Bit de parité">bit de parité</a>).
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Code_de_Golay_binaire">Code de Golay binaire</h2></div>
<p>En termes mathématiques, le code binaire étendu de Golay se compose d'un <a href="Sous-espace_vectoriel" title="Sous-espace vectoriel">sous-espace vectoriel</a> à 12 dimensions <i>W</i> de l'<a href="Espace_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Espace (mathématiques)">espace</a> <i>V</i>=<a href="Corps_fini" title="Corps fini"><b>F</b><sub>2</sub><sup>24</sup></a> des mots de 24 bits tels que deux éléments distincts de <i>W</i> diffèrent dans au moins huit coordonnées ou, d'une manière équivalente, telles que n'importe quel élément de W différent de zéro possède au moins huit coordonnées différentes de zéro.
</p>
<ul><li>Les coordonnées des éléments non nuls de <i>W</i> sont appelés mots du code. Dans le code binaire étendu de Golay, tous les mots de code ont un <a href="Poids_de_Hamming" class="mw-redirect" title="Poids de Hamming">poids de Hamming</a> de 0, 8, 12, 16 ou 24.</li>
<li><i>W</i> est unique à réétiquetage près.</li></ul>
<p>Le code binaire de Golay est <a href="Code_parfait" class="mw-redirect" title="Code parfait">3-correcteur parfait</a><sup id="cite_ref-boyer_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-boyer-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Autrement dit, les <a href="Boule_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Boule (mathématiques)">boules</a> fermées de rayon 3 autour des mots du code forment une <a href="Partition_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Partition (mathématiques)">partition</a> de l'espace vectoriel<sup id="cite_ref-boyer_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-boyer-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Constructions">Constructions</h3></div>
<ol><li>Code lexicographique : Classer les vecteurs dans V par <a href="Ordre_lexicographique" title="Ordre lexicographique">ordre lexicographique</a>. En commençant par <i>w</i><sub>1</sub> = 0, définir <i>w</i><sub>2</sub>, <i>w</i><sub>3</sub>, ..., <i>w</i><sub>12</sub> par la règle que <i>w</i><sub><i>n</i></sub> est le plus petit nombre entier qui diffère de toutes les <a href="Combinaison_lin%C3%A9aire" title="Combinaison linéaire">combinaisons linéaires</a> des éléments précédents dans au moins huit coordonnées. Alors <i>W</i> peut être défini comme l'ensemble généré par <i>w</i><sub>1</sub>, ..., <i>w</i><sub>12</sub>.</li>
<li>Code de <a href="R%C3%A9sidu_quadratique" title="Résidu quadratique">résidu quadratique</a> : Considérer l'ensemble <i>N</i> des non-résidus quadratiques (mod 23). C'est un sous-ensemble de 11 éléments du <a href="Groupe_cyclique" title="Groupe cyclique">groupe cyclique</a> <b>Z</b>/23<b>Z</b>. Considérer les translations <i>t</i>+<i>N</i> de ce sous-ensemble. Augmenter chaque translation à un ensemble <i>S</i><sub><i>t</i></sub> de 12 éléments en ajoutant un élément ∞. Étiqueter les éléments de la base de <i>V</i> par 0, 1, 2..., 22 ∞, <i>W</i> peut être défini l'ensemble généré par les mots <i>S</i><sub><i>t</i></sub> ainsi que le mot se composant de tous les vecteurs de base. (Le code parfait est obtenu en omettant ∞.)</li>
<li>Comme <a href="Code_cyclique" title="Code cyclique">code cyclique</a> : Le code parfait de G<sub>23</sub> peut être construit par l'intermédiaire de la factorisation de <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{23}-1}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>23</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{23}-1}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/454edb061c36af861e600e2d516fa4b9c3f02d81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.209ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{23}-1}" loading="lazy"></span> . C'est le code produit par <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1/x^{23}-1}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>11</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>10</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>5</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>4</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>23</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1/x^{23}-1}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8103e067bcef087cdbea64ae1e552f7bf943502c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.524ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1/x^{23}-1}" loading="lazy"></span></li>
<li>Le générateur "Miracle Octad Generator" de R. T. Curtis : Ceci emploie des cellules carrés 4×6 pour décrire les 759 mots de code qui ont un <a href="Poids_de_Hamming" class="mw-redirect" title="Poids de Hamming">poids de Hamming</a> de 8, ou des "octads," du code binaire étendu de Golay. Les mots de code restants sont obtenus par l'intermédiaire des <a href="Diff%C3%A9rence_sym%C3%A9trique" class="mw-redirect" title="Différence symétrique">différences symétriques</a> des sous-ensembles des 24 cellules -- c.-à-d., par addition binaire. Pour des détails, voir <a rel="nofollow" class="external text" href="http://log24.com/theory/geometry.html">la géométrie de la place 4×4</a>.</li></ol>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Code_de_Golay_ternaire">Code de Golay ternaire</h2></div>
<p>Il y a deux codes correcteurs d'erreurs étroitement liés connus sous le nom de codes ternaires de Golay. Le code plus connu en tant que code ternaire de Golay est un <a href="Code_lin%C3%A9aire" title="Code linéaire">code linéaire</a> ternaire parfait (11, 6, 5) ; le code ternaire étendu de Golay est un code linéaire (12, 6, 6) obtenu en ajoutant un chiffre-clé de somme zéro au code (11, 6, 5).
</p><p>L'énumérateur complet de poids du code ternaire étendu de Golay est
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6})+220(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3})}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>12</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>12</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>12</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>22</mn>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>+</mo>
<mn>220</mn>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>6</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>y</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6})+220(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3})}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cb8ec13fa3e8ae28d74bb49963cd8fc60f4cd84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:75.079ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6})+220(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3})}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>
<p>Le code ternaire parfait de Golay peut être construit comme le code de résidu quadratique de longueur 11 sur le <a href="Corps_fini" title="Corps fini">corps fini</a> <b>F</b><sub>3</sub>.
</p><p>Le groupe d'automorphisme du code ternaire étendu de Golay est 2.<i>M</i><sub>12</sub>, où <i>M</i><sub>12</sub> est un <a href="Groupe_de_Mathieu" title="Groupe de Mathieu">groupe de Mathieu</a>.
</p><p>Considérer tous les mots de code du code étendu qui ont seulement six chiffres non nuls. Les ensembles de positions auxquelles ces chiffres non nuls se trouvent forment le <a href="Syst%C3%A8me_de_Steiner" title="Système de Steiner">système de Steiner</a> S(5, 6, 12).
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>
<div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references">
<li id="cite_note-boyer-1"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Boyer2019"><span class="ouvrage" id="Pascal_Boyer2019">Pascal Boyer, <cite class="italique">Petit Compagnon des nombres et de leurs applications</cite>, Calvage et Mounet, <time>2019</time>, 648 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-2-916352-75-6</span>)</small>, VI. Cryptographie, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 8.4 (« Codes BCH »)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Petit+Compagnon+des+nombres+et+de+leurs+applications&rft.atitle=Codes+BCH&rft.pub=Calvage+et+Mounet&rft.aulast=Boyer&rft.aufirst=Pascal&rft.date=2019&rft.tpages=648&rft.isbn=978-2-916352-75-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACode+de+Golay"></span></span></span>.</span>
</li>
</ol></div>
</div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>
<ul><li><span class="ouvrage" id="ConwaySloane1988"><span class="ouvrage" id="John_H._ConwayNeil_J._A._Sloane1988"><small>[Conway et Sloane 1988]</small> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> John H. <span class="nom_auteur">Conway</span> et Neil J. A. <span class="nom_auteur">Sloane</span>, <cite class="italique" lang="en">Sphere Packings, Lattices and Groups</cite>, New York, Springer, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften / A Series of Comprehensive Studies in Mathematics » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 290), <time>1988</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-1-4757-2018-1</span>, <a href="International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <span class=" noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.issn.org/resource/issn/0072-7830">0072-7830</a></span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-2016-7">10.1007/978-1-4757-2016-7</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Sphere+Packings%2C+Lattices+and+Groups&rft.place=New+York&rft.pub=Springer&rft.aulast=Conway&rft.aufirst=John+H.&rft.au=Sloane%2C+Neil+J.+A.&rft.date=1988&rft.isbn=978-1-4757-2018-1&rft.issn=0072-7830&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4757-2016-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACode+de+Golay"></span></span></span>.</li></ul>
<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des mathématiques</span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de l'informatique théorique</span> </span></li> </ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2024-05-23" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Code_de_Golay&oldid=215331227">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.
</div>
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